Question

一道高三数学题。这样。

对于函数y=f(x)（x∈D），D为此函数的定义域，若同时满足下列两个条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间〖a,b〗上的值域为〖a，b〗，那么我们把y=f（x），x∈D叫闭函数。
（1）求闭函数y=-x的三次方符合条件②的区间〖a,b〗；
（2）若y=k+根号下x（k〈0）是闭函数，求实数k的取值范围。
PS：很纠结的题。感谢解决~

Answer 1

【1】解：
易知，函数f(x)=-x ³的定义域为R,且在R上递减，
可设函数f(x)在区间[a,b]，（a＜b）上满足：
f(a)=b.且f(b)=a.即-a ³=b,且-b ³=a.
两式相乘可得：（ab）[(ab) ²-1]=0.易知，ab≠0.
∴(ab) ²=1.
两式再相加，可得：（a ³+b ³）+(a+b)=0.
∴(a+b)(a ²-ab+b ²+1)=0.易知，a ²-ab+b ²+1=[a-(b/2)] ²+(3b ²/4)+1＞0.
∴a+b=0.结合(ab) ²=1,且a＜b.可知，
a=-1,b=1.
闭函数f(x)=-x ³满足的闭区间为[-1,1].
【2】解：
易知，函数f(x)=k+√x,定义域为[0,+ ∞）,且在定义域上递增。
可设闭函数f(x)满足的闭区间为[a,b].(0≤a＜b）。
易知，此时必有a=k+√a,且b=k+√b.
即关于x的方程x-√x=k有两个非负实数根a,b.
把方程x-√x=k变形：[√x-(1/2)] ²=k+(1/4).
∴k+(1/4) ＞0. ∴k＞-1/4.
结合k＜0,可知：-1/4＜k＜0.