Question

初二几何题（最主要是第2个问）

如图，在三角形ABC中，AB=AC，M是BC的中点，P、Q分别是边AB，AC上的点。
（1）如图1，若∠MPB=∠MQC=90°，证明MP=MQ
(2)如图2.，若∠MPB+∠MQC=180°，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由
第2个问的确成立，可是为什么呢？我还没有学到四点共圆，还有没有其他方法呢？？

Answer 1

证明:第2个问是成立的,用四点共圆证确实简单,用全等法证也可以证明,稍微繁琐点.

       连接AM,在AB上截取一点D,使AD=AQ,连接AM

      在△AMD和△AMQ中

    ∵ M是BC的中点,且AB=AC(等腰)

       ∴AM是∠A的平分线(等腰性质)

      ∴∠BAM=∠CAM

       ∵AD=AQ(已作)

      ∴△AMD≌△AMQ(SAS)

      ∴MD=MQ

      ∴∠ADM=∠AQM

     ∵∠AQM+∠MQC=180°

   ∴∠ADM+∠MQC=180°

  又∵∠MPB+∠MQC=180°(已知)

     ∴∠ADM=∠MPB

     ∴MD=MP(△MPD是等腰三角形)

  又∵MD=MQ(已证)

     ∴MP=MQ(结论成立)

Answer 2

∠MPB+∠MQC=180°，
APMQ共圆，
AB=AC，M是BC的中点
等角度的弧相等。
MP=MQ

Answer 3

成立 因为MPBQ四点共园 若MP=MQ 则角PAM=角MAQ