Question

当x∈(0,π)时,函数f(x)=(1+cos2x+3sin²x)/sinx的最小值为？

Answer 1

cos2x=2(cosx)^2-1
cos2x +1 = 2(cosx)^2
f(x)=(2(cosx)^2+3(sinx)^2)/sinx=
=2/sinx +sinx
因为sinx>0,由均值不等式得
f(x)=2/sinx +sinx >= 2 sqrt(2/sinx * sinx)=sqrt(2)
取等当且仅当 2/sinx =sinx, 即sinx =sqrt(2)
可是sinx ∈(0,1), 故当sinx =1，即最靠近sqrt(2)时
f(x)取最小值f(π/2)=3

Answer 2

f(x)=(1+cos2x+3sin²x)/sinx=(1+1-2sin²x+3sin²x)/sinx=（2+sin²x）/sinx=2/sinx+sinx≥2√2
当且仅当2/sinx=sinx，即sinx=±√2时成立，显然不成立。。
而根据这函数形式，我们可知这是双钩函数，定义域在[-1,0）∪（0，1]，而此双钩函数在[2√2，0）和（0，2√2]上单调递减，在（－∞，－2√2]和[2√2，＋∞）上单调递增，所以最小值为自变量取1时，f(1)=3。