Question

一道数学题.....如图

如图，已知抛物线G的方程X^2=4y
（1）过抛物线G的焦点依次与抛物线G及圆x^2+(y-1)=1交于A,B,C,D四点，试证明│AC│*│BD│为定值；
（2）过A,B分别作抛物线G的切线L1,L2，且L1,L2交于点M试求△ACM与△BDM的面积之和的最小值.

Answer 1

分析：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xo,yo),N(0,1),圆半径r=1,准线方程为y=-1,于是由抛物线第二定义得AN=y1+1,BN=y2+1,又AC*DB=(AN-r)(BN-r)=y1y2。显得AB斜率存在且过(0,1)设其直线方程为y=kx+1,联立4y=x^2消去y得:x^2-4kx-4=0,判别式恒大于零。于是x1+x2=4k,x1x2=-4,又(4y1)(4y2)=(x1x2)^2,注意到y1y2>0,得y1y2=1,即lACl*lDBl=1(定值)得证。2）曲线4y=x^2上任意一点斜率为y'=x/2,则易得切线AM,BM方程分别为y=(1/2)x1(x-x1)+y1,y=(1/2)x2(x-x2)+y2,其中4y1=x1^2,4y2=x2^2，联立方程易解得交点M坐标,xo=(x1+x2)/2=2k,yo=(x1x2)/4=-1,于是点M到直线AB距离为d=l2k^2+2l/(1+k^2)^0.5=2(1+k^2)^0.5,弦长AB=((1+K^2)^0.5)((x1+x2)^2-4x1x2)^0.5=4(1+k^2),进而所求三角形面和可表示为S=(1/2)*d*(lABl-lCDl)其中lCDl=2r=2,化简得到S=2(2k^2+1)(k^2+1)^0.5，S随k^2单调递增，显然当k=0时S有最小值Smin=2.完毕！