Question

一道数学题，在线等~~~

已知实数x，y满足x^2+y^2=1,求（y+2）/（x+1）的取值范围

Answer 1

k=(y+2)/(x+1)

所以k就是过点(-1,-2)的直线的斜率

x，y满足x^2+y^2=1

所以就是求过点(-1,-2)的直线和单位圆有公共点是斜率的取值范围

显然相切时有最值

y+2=kx+k

kx-y+k-2=0

相切责圆心到直线距离等于半径

所以|0-0+k-2|/√(k^2+1)=1

|k-2|=√(k^2+1)

k^2-4k+4=k^2+1

k=3/4

还有一条切线是x=-1，因为(0,0)到x=-1半径

此时k不存在，即无穷大

所以k>=3/4

(y+2)/(x+1)>=3/4

Answer 2

解：∵实数x，y满足x^2+y^2=1
即点（x,y)在圆x^2+y^2=1上
∵（y+2）/（x+1）为点（x,y)
与点（-1,-2)连线的斜率k
设l:y+2=k(x+1)
当l与圆x^2+y^2=1相切时
即│k-2│/√（1+k^2）=1
k=3/4
另一条切线斜率不存在，为:x=-1
∴由数形结合可得：
k∈[3/4,＋∞）
∴（y+2）/（x+1）∈[3/4,＋∞）

Answer 3

设A=(Y+2)/(X+1)
则有 Y=A(X+1)-2
有X^2+ (A(X+1)-2)^2=1 ==> X^2+A^2(X^2+2X+1)-4A(X+1)+4=1
(1+A^2)X^2+(2A^2-4A)X+A^2-4A+3=0
因为实数x，y满足x^2+y^2=1,有解
(1+A^2)X^2+(2A^2-4A)X+A^2-4A+3=0
判别式一定>=0
即(2A^2-4A)^2-4(1+A^2)(A^2-4A+3)>=0
4A^4-16A^3+16A^2-4(A^2-4A+3+A^4-4A^3+3A^2)>=0
4A^4-16A^3+16A^2-4(4A^2-4A+3+A^4-4A^3)>=0
-4(-4A+3)>=0
即-4A+3<=0 ==>A>=3/4
所以（y+2）/（x+1）的取值范围是>=3/4