Question

已知函数f(x)=(根号3*sinwx+coswx)*coswx-1\2 (w>0)的最小正周期为4π

(1)求f(x)的单调递减区间；
（2）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c满足（2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围。

Answer 1

f(x)=(√3sinwx+coswx)coswx-1/2
=√3sinwxcoswx+(coswx)^2-1/2
=[(√3）/2]sin2wx+(1/2)cos2wx
=sin(2wx+π/6)(w>0)的最小正周期为4π ,
∴2π/（2w)=4π,w=1/4.
(1)f(x)=sin(x/2+π/6)的单调递减区间由
（2k+1/2)π<x/2+π/6<(2k+3/2)π,k∈Z确定，
∴(4k+2/3)π<x<(4k+8/3)π,为所求。
（2）（2a-c)cosB=bcosC,
由正弦定理，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,
∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,
∴cosB=1/2,
∴B=π/3.
f(A)=sin(A/2+π/6)=sin[(A+B)/2]=√{[1-cos(A+B)]/2}=√[(1+cosC)/2],
0<C<2π/3,-1/2<cosC<1,
∴f(A)的取值范围是(1/2,1).