Question

数学：探索规律题

观察下列等式：1/（1*2）=1-1/2,1/（2*3）=1/2-1/3,1/（3*4）=1/3-1/4
以上三个等式两边分别相加得：
1/（1*2）+1/（2*3）+1/（3*4）=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4=1-1/4=3/4
（1）直接写出下列各式的计算结果：
1/（1*2）+1/（2*3）+1/（3*4）+……+1/[n（n+1）]=_______
(2)猜想并写出：1/[n（n+2）]=_______
(3)探究并解方程：
1/[x（x+3)]+1/[(x+3)(x+6)]+1/[(x+6)(x+9)]=3/[2x+18]

Answer 1

(1)1-1/(n+1)
(2)1/n-1/(n+2)=2/[n(n+2)]
(3)1/x-1/(x+3)+1/(x+3)-1/(x+6)+1/(x+6)-1/(x+9)=3/[2x+18]
1/x-1/(x+9)=3/[2x+18]
9/[x(x+9)]=3/[2x+18]
9*[2x+18]=3*[x(x+9)]
18x+162=3x^2+27x
3x^2+9x-162=0
(3x-18)(x+9)=0
x=6或x=-9
经检验，x=-9是原方程的增根，舍去。
所以，原方程的根为x=6。

Answer 2

（1）1/（1*2）+1/（2*3）+1/（3*4）+……+1/[n（n+1）]=1-1/（n+1）
(2)1/[n（n+2）]=（1/2）[1/n-1/(n+2)]
(3)1/[x（x+3)]+1/[(x+3)(x+6)]+1/[(x+6)(x+9)]=3/[2x+18]
(1/3)[1/x-1/(x+9)]=3/[2(x+9)]
1/3x-1/[3(x+9)]=3/[2(x+9)]
[2(x+9)]-2x=9x
2x+18-2x=9x
x=2