Question

求解初三数学有关圆的几何题：如图，已知P是直径AB上的一点，EF、CD是过点P的两条弦，∠CPB=∠EPB，试说明

如图，已知P是直径AB上的一点，EF、CD是过点P的两条弦，∠CPB=∠EPB，试说明： （1）弦CD与EF相等吗（图中蓝色线段）？为什么？ （2）弧DE与弧CF相等吗？为什么？ 图片地址：
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能不能具体讲讲怎么证△DEP和△CFP全等 还有CP=EP

Answer 1

证明：
(1)由题意得，∠CPB=∠EPB。如图所示（你自己画吧，我画不了）连结OE.OC，OE=OC（半径相等）
在△OEP与△OCP中，∠EPB=∠CPB，PO=PO，OE=OC，
所以：△OEP相似△OCP，∠EOP=∠COP
有以上得，△OEP全等△OCP，EP=CP
又：DPE=FPC（对顶角），连结OD.OC，同理可证：△DPO全等△FPO。所以：DP=FP
因为EF=FP+PE,DC=DP+PC
所以：EF=DC
(2)如图（自己画哈）连结EC，在△EPC中，EP=CP，所以△EPC是等边三角形，
∠PEC=∠PCE，所以弧DE=弧CF（同圆内，相等的圆周角所对的弧相等）

Answer 2

(1)设圆心为O
连结OE、OC、DE、FC
由正弦定理，OE/∠OPE=OP/∠OEP OC/∠OPC=OP/∠OCP
因为OE=OC ∠OPE=∠OPC
所以∠OEP＝∠OCP
由三角形内角和定理，∠AOE=∠AOC
弧AE=弧AC 弧BE=弧BC
所以∠BAE=∠BAC
因为∠BPE=∠BAE+∠AEF ∠BPC =∠BAC+∠ACD
所以∠AEF=∠ACD
弧AD=弧AF
因为弧BE=弧BC
所以弧DE=弧CF
弧EF=弧CD
所以弦EF=弦CD
(2)
(1)已证

Answer 3

(1)连接CF和ED，先证CP=EP，后证全等
（2）圆心为O,由上题得CD=EF 证OCD与OEF全等，得圆心角相等，则弧相等

Answer 4

连接CF和ED，.因为，∠CPB=∠EPB 所以PE=PC,
因为∠DEF=∠DCF,∠DPE=∠CPF
因为ASA 所以 △DEP和△CFP全等