高中一道立体几何填空题,知答案求过程

题目贴图:百度图片地址:?t=1296823558046&t=1296823610812fnxnmn一个矩形,它的对角线与该斜面有固定的交点,“点OP可以理解为长方体的一... 题目贴图:百度图片地址:
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fnxnmn
一个矩形,它的对角线与该斜面有固定的交点,“点OP可以理解为长方体的一条体对角线”的说法不准确

看来我之前误解“fnxnmn”了,“我本寒江雪”帮助我走出了误区:“点OP可以理解为长方体的一条体对角线”是指以OP线段为体对角线,而不是原来的四面体的三条边,这也就意味着O点不在ABC面上也可。
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 我来答
fnxnmn
2011-02-04 · TA获得超过5.9万个赞
知道大有可为答主
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先证明一个结论,下面要用到:
若长方体的一条对角线与过它的一个端点的三条棱所成的角分别是α、β、γ,
则cos²α+cos²β+cos²γ=1
证明:设长方体的长宽高分别为a、b、c
体对角线r=√(a^2+b^2+c^2)
cosα=a/r
cosβ=b/r
cosγ=c/r
所以cos²α+cos²β+cos²γ=(a^2+b^2+c^2)/r^2=1

题目中,已知∠APB=∠BPC=∠APC=90°,
点p处的三个角是直角,
所以点OP可以理解为长方体的一条体对角线,
根据上面的结论,
则OP与棱PA、PB、PC所成的角满足cos²α+cos²β+cos²γ=1,
而本题中α=45°,β=60°,
所以cos²45°+cos²60°+cos²γ=1,
cosγ=1/2,所以γ=60°,
即∠OPC=60°.
我本寒江雪
2011-02-05 · TA获得超过247个赞
知道小有建树答主
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题目中,已知∠APB=∠BPC=∠APC=90°,

点p处的三个角是直角,

所以OP可以理解为长方体的一条体对角线,如图,

设PB’=b,PA’=a,PC’=c.在三角形OPB’中,∠OB’P=90°,∠OPB’=60°,根据勾股定理可得OP=2b,同理在三角形OPA’中可得OP=(√2)a,∴2b=(√2)a…………①,得a=(√2)b,又∵OP是长方体的体对角线,OP^2=a^2+b^2+c^2…………②,由①②可和b=c,从而可证三角形OPB’≌三角形OPC’,∴∠OPC’=∠OPB’=60°,即∠OPC=60°

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