Question

数学练习

设f(x)是定义域R在实数集上的函数，且满足下列关系， F(X+10)等于F(10-X),F(20-X)等于-F(20+X),则f(x)是什么函数？是不是奇函数 是不是周期函数？详解。
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Answer 1

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得 恒成立，则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，则 （ ）也是 的周期，所有周期中的最小正数叫 的最小正周期。
分段函数的周期：设 是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:
。把 个单位即按向量 在其他周期的图像： 。

2、奇偶函数：
设
①若
②若 。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性：
（1）中心对称即点对称：
①点
②
③
④
⑤
（2）轴对称：对称轴方程为： 。
① 关于直线
②函数 关于直线
成轴对称。
③ 关于直线
成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数 图象本身的对称性（自身对称）
若 ，则 具有周期性；若 ，则 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、 图象关于直线 对称
推论1： 的图象关于直线 对称
推论2、 的图象关于直线 对称
推论3、 的图象关于直线 对称
2、 的图象关于点 对称
推论1、 的图象关于点 对称
推论2、 的图象关于点 对称
推论3、 的图象关于点 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数 与 图象关于Y轴对称
2、奇函数 与 图象关于原点对称函数
3、函数 与 图象关于X轴对称
4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称
5.函数 与 图象关于直线 对称
推论1:函数 与 图象关于直线 对称
推论2:函数 与 图象关于直线 对称
推论3:函数 与 图象关于直线 对称

（三）抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)
性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性
定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。
定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。
说明：
（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)
（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

3、复合函数的对称性
性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称
性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称
推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称
推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称

4、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)
③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)
5、函数的对称性与周期性
性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
6、函数对称性的应用
（1）若 ,即

（2）例题
1、 ;

2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： 。
3、若 的图像关于直线 对称。设
.

（四）常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论
1、 ( ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期
2、 的周期为
3、 的周期为
4、 的周期为
5、 的周期为
6、 的周期为
7、 的周期为
8、 的周期为
9、 的周期为
10、若
11、 有两条对称轴 和 周期
推论：偶函数 满足 周期
12、 有两个对称中心 和 周期
推论：奇函数 满足 周期
13、 有一条对称轴 和一个对称中心 的
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.（1996年高考题）设 是 上的奇函数， 当 时， ，则 等于（-0.5）
（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知 是定义在实数集上的函数，且 ， 求 的值. 。
2、比较函数值大小
例3.若 是以2为周期的偶函数，当 时， 试比较 、 、 的大小.
解： 是以2为周期的偶函数，又 在 上是增函数，且 ，
3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）设 是定义在区间 上且以2为周期的函数，对 ，用 表示区间 已知当 时， 求 在 上的解析式.
解：设
时，有
是以2 为周期的函数， .
例5．设 是定义在 上以2为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间 上， 求 时， 的解析式.
解：当 ，即 ，

又 是以2为周期的周期函数，于是当 ，即 时，

4、判断函数奇偶性
例6.已知 的周期为4，且等式 对任意 均成立，
判断函数 的奇偶性.
解：由 的周期为4，得 ，由 得
， 故 为偶函数.
5、确定函数图象与 轴交点的个数
例7.设函数 对任意实数 满足 ，
判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数 图象关于直线 和 对称，又由函数的性质得
是以10为周期的函数.在一个周期区间 上，

故 图象与 轴至少有2个交点.
而区间 有6个周期，故在闭区间 上 图象与 轴至少有13个交点.
6、在数列中的应用
例8.在数列 中， ，求数列的通项公式，并计算
分析：此题的思路与例2思路类似.
解：令 则

不难用归纳法证明数列的通项为： ，且以4为周期.
于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，
，由 得总项数为500项，

7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第 天是星期几？
分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.
解：

因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，
故 天为星期四.
8、复数中的应用
例10.（上海市1994年高考题）设 ，则满足等式 且大于1的正整数 中最小的是
（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.
分析：运用 方幂的周期性求值即可.
解： ，

9、解“立几”题
例11.ABCD— 是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是 黑蚁爬行的路线是 它们都遵循如下规则：所爬行的第 段所在直线与第 段所在直线必须是异面直线（其中 .设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是
（A）1； （B） ；（C） ； （D）0.
解：依条件列出白蚁的路线
立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.
1990=6 ，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在 点，白蚁在C点，故所求距离是
例题与应用
例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值
例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)=－2x+1，则当 时求f(x)的解析式
例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)= ，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.

例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)是减函数，求证当 时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.
例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，
求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0
即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+ =401个根.
例1、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于
点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）
例2、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）
例3、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）
例4、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
六、巩固练习
1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝
f(6－x)的图象（ ）。
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，
f(x)＝x，则f(7.5)=（ ）。
A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，
f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）。
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。
参考答案：D，B，C，T＝2。
5、在数列 求 =-1．

Answer 2

关于10的偶函数
关于20的奇函数
所以是奇函数

Answer 3

553444444543