Question

AAA测试样题数学第五题

设q 是三次多项式 f (x) = x3 - 3x + 10 的一个根，且a=（q^2+q-2）/2.若 h(x ) 是一个有理系数的二次多项式，满足条件h (a ) = q . 则 h (0) =
A.-2 B.2 C.-0.5 D.0.5
答案是A
希望能提供解法，不胜感激！
请问q为什么是无理数呢？如何证明？
谢谢

Answer 1

q³ - 3q + 10 = 0
∴ q³ = 3q - 10 , q^4= 3q² - 10q
设 h(x) = bx² + cx + d ( b,c,d为有理数,b≠0 )
h(a) = b(q^4+q²+4+2q³-4q²-4q)/4 + c(q²+q-2)/2 + d = q
带入化简得 cq² / 2 + ( c/2 - 2b - 1)q + (d-c-4b) = 0
∵q是无理数,b,c,d是有理数
∴c = 0, c/2 - 2b - 1 = 0, d-c-4b = 0
得d = -2
∴h(0) = d = -2

Answer 2

q是无理数全靠直觉！因为算不出有理根。事实上用一些复杂的“一元三次方程求根公式”可以算出来，含有三次根号【似乎是：（-5+根号26）开三次方+（-5-根号26）开三次方】，所以q和q的平方都是不含有理项的无理数。
设出h(x)的表达式，将a用q表示出来，得到只和q有关的等式。用f(q)=0消去该式中q的四次项、再消去三次项，得到关于q的二次方程。刚才说过q和q的平方都是不含有理项的无理数，所以不妨令每一项的系数都等于零。事实上c是固定的而a、b是不固定的。

Answer 3

真没办法。