Question

初三三角函数题

在三角形ABC中，角ACB等于90度，CD垂直于AB交于点D，且AB=4CD,求tanA。
请问在这道题中如何得到AC的平方等于AD与AB的乘积、BC的平方等于BD与AB的乘积、
CD的平方等于AD与DB的乘积、AC与BC的乘积等于AB与CD的乘积、AC的平方与BC的平方的比值等于AD与BD的比值？

Answer 1

前三个是射影定理
证明过程：CD垂直于AB交于点D，所以角CDA等于90度
角ACB等于90度，
所以角CDA=角ACB 又因为角A=角A
所以三角形ACD相似于三角形ABC
所以AC/AB=AD/AC 即AC的平方等于AD与AB的乘积
同理可证BC的平方等于BD与AB的乘积
CD的平方等于AD与DB的乘积
AC与BC的乘积等于AB与CD的乘积是因为AC与BC的乘积的1/2是三角形ABC的面积，AB与CD的乘积的1/2也是三角形ABC的面积。
AC的平方与BC的平方的比值等于AD与BD的比值：
因为AC的平方等于AD与AB的乘积，BC的平方等于BD与AB的乘积
所以AC的平方与BC的平方的比值等于AD*AB和BD*AB的比值
约去AB可得AC的平方与BC的平方的比值等于AD与BD的比值

Answer 2

CD²=AD•BD=AD(AB-AD)=AB•AD-AD²
AD²-AB•AD+CD²=0
AD²-4CD•AD+CD²=0
AD=(2±√3)CD
tanA=CD/AD=2±√3