Question

两道高一数学求值域的题（作业）

题一：求函数y=x+√（1-2x)的值域。

题二：求函数y=（2x^2-2x+3)/(x^2-x+1) 的值域。

Answer 1

1方法一:利用换元法和图象法.

令√1-2x=t,t>=0.可得x=(1-t^2)/2
所以y=(1-t^2)/2+t=-(1/2)*(t-1)^2+1
画出其图象为开口向下,最高点为(1,1)的一条抛物线.由此可得函数的值域为(—∞,1].

方法二:

求出函数定义域(—∞,1/2]
任给x∈(—∞,1/2],则有x ≤1/2，则1—2x≥0, 1—x≥x,
那么，当x∈(—∞,0)，1—x>1>0; 当x∈[0, 1/2]，1—x≥x>0.
就是说，任给x∈(—∞,1/2]，都有1—x>0
而且 显然有x^2≥0，从而x^2—2x+1≥—2x+1，也就是 (x—1)^2≥1—2x
前已经求得1—x>0，1—2x≥0，所以上式开方，就得到
1—x ≥√(1—2x)
上式恒等变形,就得到√(1—2x)+x≤1，即是f(x)=√(1—2x)+x ≤1.
2：原式化简（约分）：2+1/x^2-x+1,定义域为R，只有分母有未知数，二次函数，大等于3/4，所以分式属于（0，4/3】，所以值域（2，10/3】

应该是对的，可能数算错，但方法肯定对。谢谢

Answer 2

解：1、令t=√（1-2x)那么x=(1-t^2)/2 t>=0
那么 y=(1-t^2)/2+t
即 y=-(1/2)(t^2-2t+1)+1
=-(1/2)(t-1)^2+1
因为t>=0所以y有最大值为t=1时 即最大值为1
所以y小于等于1
2、原式等价于y=2+1/(x^2-x+1)
=2+1/((x-1/2)^2+3/4)
因为定义域为R
所以 y有最大值 为2+4/3=10/3 当x=1/2时取得
所以y的值域为y小于等于10/3