Question

如图，已知三角形ABC，AC=BC=6，角C＝90度O是AB的中点，圆O与AC,BC分别相切于点D与点E。点F是圆O与

AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G，则CG＝？

Answer 1

如图，∵圆O与AC、BC相切与D、E

∴∠ODE=∠OEC=90°，DO和EO为圆O半径

∴DO=EO

∵∠C=90°

∴正方形CDOE

∵AC=BC

∴等腰直角三角形ABC

∵正方形CDOE∴OE∥CA，OD∥BC

∴∠ODF=∠G

∵∠OFD=∠BFG

∴∠DOF=∠GBF

∴△DOF∽△GBF

∴OD/BG=OF/BF

∵AC=BC=6

∴AB=6√2

∵O为AB中点，且是圆O圆心

∴OF=3，BO=3√2

∴BF=3√2-3

∵等腰直角三角形ABC，OD∥BC

∴OD=AD，D为AC中点

∴OD=3

∴（3√2-3）/3=BG/3

∴BG=3√2-3

∴CG=6+3√2-3=3√2+3

Answer 2

OE=CE。圆O，所以OE=CE。又因为OE是切线，∠CEO=∠C=90°，且O是AB中点，则OE是中位线，OE=二分之一AC=3，OF=3，OE=3。同理DO是中位线，然后内错对顶角三角形DOF与GBF相似，DO,OB,OF已经求出来了，相似比一下求出BG，加BC为6，CG等于3根号2+3

Answer 3

OD=3 即圆的半径，则，OF=3 BF=3根号2-3 接着求出BF/FA AD/DC=1 接着利用截线DFG与三角形ABC的梅涅劳斯定理，求出CB/BG 接着就易求CG了

不知道这是什么程度的题目，用了梅涅劳斯定理定理，应该有别的方法吧

Answer 4

aaaaaaaa解：连接OD，则OD⊥AC；
∵∠C=90°，
∴OD∥CB；
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，即OD=1/2BC=3；
∵OD∥CG，
∴∠ODF=∠G；
∵OD=OF，则∠ODF=∠OFD，
∴∠BFG=∠OFD=∠G，
∴BF=BG=OB-OF=3√2-3，
∴CG=BC+BG=6+3√2-3=3√2+3a

Answer 5

(1)∠BFG=∠BGF
证明：连接OD
AC为圆切线，所以OD⊥AC
∠ADO=∠ACB，所以OD∥BC
∠ODF=∠BGF（内错角），∠OFD=∠BFG（对顶角）
因为OD=OF，∠ODF=∠OFD
所以∠BFG=∠BGF
(2)连接OE
∠ACB=90，AC=BC
BC为圆切线，所以OE⊥BC
已证OD∥BC，所以OD⊥OE
∠DOE=90
O为AB中点，OD∥BC，所以OD为△ABC中位线
因此OD=BC/2=3，即圆半径为3。
D为AC中点，CD=AC/2=3。
同理，E为BC中点，BE=BC/2=3
AC=BC，简单可得，△ABC为等腰直角三角形
所以AB=√2AC=6√2
BF=（6√2-6）/2=3√2-3
由（1）得，∠BFG=∠BGF，BG=BF=3√2-3
EG=BE+BG=3√2
S扇形DOE=90×3²×π/360=9π/4
S△DOE=1/2×DO×EO=9/2
S△DEG=1/2×EG×CD=9√2/2
S阴影部分=S扇形DOE+S△DEG-S△DOE=9π/4+9（√2-1）/2