Question

求最大值

已知a+b+c=32，求a^3*b+b^3*c+c^3*a的最大值(a^3*b是指a的三次方乘以b)
要过程
而且要解释思路是怎么得到的
必重赏
谢谢大家
实在抱歉一楼，您的解法和陈计先生的著作《代数不等式》第5页例5做法完全相同。我想知道的是如何想到这种配方法，如果只是这种过程我看书肯定是能看懂的。

Answer 1

不知到您现在的知识储备如何，如果只是高中的话，本题很难解。楼上几位参考方法的思路其实是错误的！【如果a>=b>=c推出a^3*b>b^3*c>c^3*a需要一个前提，就是a,b,c为正数！】

如果学过高等数学或者数学分析的话，可用拉格朗日乘数法来求取

目标函数：max f(a,b,c)=a^3*b+b^3*c+c^3*a

约束条件：g(a,b,c)=a+b+c-32=0

构造拉格朗日函数h(a,b,c,x)=f(a,b,c) + x*g(a,b,c)

让函数h对自变量a,b,c,x的偏导数都为0，解出a,b,c。具体见图片。

【这是个四元三次方程组，手算无法完成，我就用MATLAB求解。】

然后一个个带进去求函数f的值，最终可以得到

a/b/c分别为-20.48257、39.61404、12.86853时f的值最大，为4.1592×10^5

Answer 2

已知a+b+c=32，a^3*b+b^3*c+c^3*a和(a+b+c)*(a+b+c)^3是相关的
第一步,求a^3*b+b^3*c+c^3*a 和 (a+b+c)^4 的不等式
假设X*[a^3*b+b^3*c+c^3*a ]≤Y*[ (a+b+c)^4 ]
比较系数 ==> X=256, Y=27
27(a+b+c)^4-256(a^3b+b^3c+c^3a)≥0
256(a^3b+b^3c+c^3a)-27(a+b+c)^4≤0
所以a^3b+b^3c+c^3a≤27(a+b+c)^4/256=110592=8*(24)^3
当a=24,b=8,c=0时取等号 或a=48,b=1,c=0时取等号

Answer 3

设a=max{a,b,c}
因为27(a+b+c)^4-256(a^3b+b^3c+c^3a)
=c(148(ac(a-c)+b^2(a-b))+108(bc^2+a^3)+324ab(a+c)+27c^3+14a^2c+162b^2c+176ab^2)+(a-3b)^2(27a^2+14ab+3b^2)>=0
所以a^3b+b^3c+c^3a<=27(a+b+c)^4/256=110592
当a=24,b=8,c=0时取等号

Answer 4

用初等数学的方法来解释该题的解题思路是不太容易或者是不可能的,初等数学的题有时有着高等数学的背景,或受高等数学知识的启发,该题正是如此,该题有着明显的强列的拼凑的意图,但两个系数256,27是如何来的,这需要做题的经验,对题目的深刻体会,需要机智和智慧,下面尝试给你一个思路：
http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/0591fe45d202805f500ffed5.html?timeStamp=1297040827421

Answer 5

解：已知a+b+c=32，令f(a,b,c)=a^3*b+b^3*c+c^3*a，则其最大值肯定存在；
第一步：设a为未知数，把b,c视为常数，x为未知常数。
则令f(a)=a^3*b+b^3*c+c^3*a-x[32-(a+b+c)]，则f(a)的最大值存在；
则：令f`(a)=3a²b+c^3+x=0，解得a=a0，即f(a)max=f(a0)；
第二步：设b为未知数，把a,c视为常数。
则令f(b)=a^3*b+b^3*c+c^3*a-x[32-(a+b+c)]，则f(b)的最大值存在；
则：令f`(b)=3b²c+a^3+x=0，解得b=b0，即f(b)max=f(b0)；
第三步：设c为未知数，把a,b视为常数。
则令f(c)=a^3*b+b^3*c+c^3*a-x[32-(a+b+c)]，则f(c)的最大值存在；
则：令f`(c)=3c²a+b^3+x=0，解得c=c0，即f(c)max=f(c0)；
当f(a,b,c)=a^3*b+b^3*c+c^3*a取得最大值时，f(a)，f(b)，f(c)必同时取得最大值；
则f(a,b,c)max=f(a0,b0,c0)=(a0)^3*b0+(b0)^3*c0+(c0)^3*a0 ；
第四步：求a0，b0，c0 ；
有：a0+b0+c0=32；3(a0)²b0+(c0)^3+x=3(b0)²(c0)+(a0)^3+x=3(c0)²(a0)+(b0)^3+x=0；
这个方程组无法手算，运用软件求解：a0=-20.48257，b0=39.61404，c0=12.86853；
则：a^3*b+b^3*c+c^3*a的最大值f(a0,b0,c0)=(a0)^3*b0+(b0)^3*c0+(c0)^3*a0=415920

Answer 6

已知a+b+c=32，a^3*b+b^3*c+c^3*a和(a+b+c)*(a+b+c)^3是相关的
第一步,求a^3*b+b^3*c+c^3*a 和 (a+b+c)^4 的不等式
假设X*[a^3*b+b^3*c+c^3*a ]≤Y*[ (a+b+c)^4 ]
比较系数 ==> X=256, Y=27
27(a+b+c)^4-256(a^3b+b^3c+c^3a)≥0
256(a^3b+b^3c+c^3a)-27(a+b+c)^4≤0
所以a^3b+b^3c+c^3a≤27(a+b+c)^4/256=110592=8*(24)^3
当a=24,b=8,c=0时取等号或a=48,b=1,c=0时取等号

设a=max{a,b,c}
因为27(a+b+c)^4-256(a^3b+b^3c+c^3a)
=c(148(ac(a-c)+b^2(a-b))+108(bc^2+a^3)+324ab(a+c)+27c^3+14a^2c+162b^2c+176ab^2)+(a-3b)^2(27a^2+14ab+3b^2)>=0
所以a^3b+b^3c+c^3a<=27(a+b+c)^4/256=110592
当a=24,b=8,c=0时取等号

用初等数学的方法来解释该题的解题思路是不太容易或者是不可能的,初等数学的题有时有着高等数学的背景,或受高等数学知识的启发,该题正是如此,该题有着明显的强列的拼凑的意图,但两个系数256,27是如何来的,这需要做题的经验,对题目的深刻体会,需要机智和智慧,下面尝试给你一个思路：

已知a+b+c=32，a^3*b+b^3*c+c^3*a和(a+b+c)*(a+b+c)^3是相关的
第一步,求a^3*b+b^3*c+c^3*a 和 (a+b+c)^4 的不等式
假设X*[a^3*b+b^3*c+c^3*a ]≤Y*[ (a+b+c)^4 ]
比较系数 ==> X=256, Y=27

不知到您现在的知识储备如何，如果只是高中的话，本题很难解。楼上几位参考方法的思路其实是错误的！【如果a>=b>=c推出a^3*b>b^3*c>c^3*a需要一个前提，就是a,b,c为正数！】
如果学过高等数学或者数学分析的话，可用拉格朗日乘数法来求取

目标函数：max f(a,b,c)=a^3*b+b^3*c+c^3*a
约束条件：g(a,b,c)=a+b+c-32=0
构造拉格朗日函数h(a,b,c,x)=f(a,b,c) + x*g(a,b,c)
让函数h对自变量a,b,c,x的偏导数都为0，解出a,b,c。具体见图片。
【这是个四元三次方程组，手算无法完成，我就用MATLAB求解。】

然后一个个带进去求函数f的值，最终可以得到
a/b/c分别为-20.48257、39.61404、12.86853时f的值最大，为4.1592×10^5
27(a+b+c)^4-256(a^3b+b^3c+c^3a)≥0
256(a^3b+b^3c+c^3a)-27(a+b+c)^4≤0
所以a^3b+b^3c+c^3a≤27(a+b+c)^4/256=110592=8*(24)^3
当a=24,b=8,c=0时取等号或a=48,b=1,c=0时取等号

几种方法供你参考