Question

高二数学题，有过椭圆，麻烦写出详细解答谢谢

已知大西北某荒漠上A、B两点相距2km ，现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长8km
问，农艺园的最大面积能达到多少？

Answer 1

既然是平行四边形，那看一半就行了，一半是三角形，一条边长2km，另两条边加起来是4km
以A和B为两个焦点(c=2/2=1)，4km为长轴长(a=4/2=2)做椭圆，那么以两个焦点和椭圆上随便一点组成的三角形就符合上面条件了。三角形面积是二分之一底乘高。底选成AB就定了是2km，高要想最大的话就是半短轴了嘛，半短轴b，有b*b=a*a-c*c，a=2，c=1，于是b=根号3。
于是三角形面积就是根号3平分千米。平行四边形面积就是2倍根号3平分千米

Answer 2

设农艺园是平行四边形ACBD,依题意
AC+CB=AD+DB=4,
农艺园面积最大时△ACB的面积最大，这时AC=CB=2=AB,
S△ACB=√3，
∴农艺园最大面积为2√3km^2.
这里只用到“一边固定，另两边之和为常量的三角形面积最大者是以固定边为底边的等腰三角形”，不必用到椭圆。

Answer 3

题目可看为以A，B为焦点的椭圆，且2a=8/2=4
以A和B的中点为原点建立直角坐标系，则椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1
通过画图可知，当点移动到椭圆与y轴的交点时，面积最大
故此时S=2根号3