Question

已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6)，对称轴为x=2。(1)求该抛物线的解析式；（2）点D

线段AB上且AD＝AC ，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明书理由。

Answer 1

1、由题知144a+12b+c=0
c=-6
-b/2a=2
解得a=1/16，b=-1/4，c=-6
抛物线方程为 y=1/16x^2-1/4x-6
2、设Q运动速度为v，可解得A（-8，0)，D(2，0)，P(-8+t，0)（-8<=t<=12），
直线BC：y=1/2x-6，故Q（2√5/5vt，-6+√5/5vt）（将速度沿x、y轴方向分解可得分速度）
直线CD：y=3x-6，PQ中点在CD上，有（-6+√5/5vt）/2=3（2√5/5vt-8+t）/2-6
并且PQ⊥CD,有[（-6+√5/5vt）/（2√5/5vt+8-t）]*3=-1
两式结合解得t=5，v=3√5/5
故存在v=3√5/5满足条件，此时t=5s

Answer 2

2、设Q运动速度为v，可解得A（-8，0)，D(2，0)，P(-8+t，0)（-8<=t<=12），
直线BC：y=1/2x-6，故Q（2√5/5vt，-6+√5/5vt）（将速度沿x、y轴方向分解可得分速度）
直线CD：y=3x-6，PQ中点在CD上，有（-6+√5/5vt）/2=3（2√5/5vt-8+t）/2-6
并且PQ⊥CD,有[（-6+√5/5vt）/（2√5/5vt+8-t）]*3=-1
两式结合解得t=5，v=3√5/5
故存在v=3√5/5满足条件，此时t=5s