Question

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P

与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

Answer 1

解：（1）把三点代入抛物线解析式
0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c ，
即得： a=-1 b=2 c=3 ，
所以二次函数式为y=-x2+2x+3；
（2）由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
则顶点P（1，4），
由B，C两点坐标可知，直线BC解析式为y=-x+3，
设过点P与直线BC平行的直线为：y=-x+b，
将点P（1，4）代入，得y=-x+5，
则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q，
-x2+2x+3=-x+5，
即x2-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
代入直线则得点（1，4）或（2，3），
已知点P（1，4），
所以点Q（2，3），
由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM=2，
设过P′（1，0）且与BC平行的直线为y=-x+c，
将P′代入，得y=-x+1，
联立 y=-x+1 y=-x2+2x+3 ，解得 x=3- 17 2 y=-1+ 17 2 或 x=3+ 17 2 y=-1- 17 2 ，
∴Q（2，3）或（3- 17 2 ，-1+ 17 2 ）或Q（3+ 17 2 ，-1- 17 2 ）；

（3）由题意求得直线BC代入x=1，则y=2，
∴M（1，2），
由点M，P的坐标可知：
点R存在，即过点M平行于x轴的直线，
则代入y=2，x2-2x-1=0，
解得x=1- 2 （在对称轴的左侧，舍去），x=1+ 2 ，
即点R（1+ 2 ，2）．

Answer 2

﹙1﹚∵该抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）
∴可以设：该抛物线的解析式y=a﹙x－3﹚﹙x＋1﹚ 过点C（0，3）
∴－3a=3 ∴a=﹣1
∴该抛物线的解析式y=－﹙x－3﹚﹙x＋1﹚即y=－﹙x－1﹚²＋4﹙或y=－x²＋2x＋3﹚
﹙2﹚
OA=1 ，OB=3 ，OC=3 ，顶点P﹙1，4﹚
直线PM是：x=1 设直线PM与X轴交于D﹙1，0﹚ 则OD=1 BD=2 PD=4
易得⊿BMD∽⊿BCO ⊿BCO是等腰直角三角形 ∴MD=BD=2 ∴PM=2
∴S⊿PMB=½PM•BD=2 而S⊿DMB=½MD•BD =2
∴S⊿PMB＝S⊿DMB 过D作DH⊥MB于H ∴S⊿PMB＝S⊿DMB=½MB•DH
过D作EF∥BC交抛物线于点E、F ∴ 此时S⊿EMB＝S⊿FMB＝½MB•BH
∵容易求得直线BC：y=－x＋3
∴直线EF：y=－x＋b 又∵它经过点D﹙1，0﹚ ∴－1＋b=0 ∴b=1
∴直线EF：∴ y=－x＋1
于这个抛物线的交点 y=－x＋1
y=－x²＋2x＋3
解这个方程组得x1=[3＋√17]／2 x2=[3－√17]／2
y1=[﹣1－√17]／2 y2=[﹣1＋√17]／2
∴点E【[3＋√17]／2，[﹣1－√17]／2 】， F【[3－√17]／2，[﹣1＋√17]／2】

Answer 3

（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）带入解析式，得a=-1，b=2，c=3
y=-x2+2x+3
（2）①作PQ平行于MB，交抛物线与Q
∵B（3，0）、C（0，3）得BC解析式：y=-x+3，∴M（1，2）
有抛物线解析式得P（1，4），∵PQ平行于MB，∴设PQ解析式为y=-x+b，把（1，4）代入，∴b=5（由此可得PQ可由MB向上或向下平移两个单位所得），∴PQ解析式为y=
-x+5，将解析式联立，可得x=1或2，∵Q不与P重合，∴Q（2，3）
②∵PQ可由MB向上或向下平移两个单位所得
∴经过Q点解析式为y=-x+1
将解析式联立，得x=3+√17／2 3-√17／2
Q（3+√17/2，-1-√17/2）（3-√17/2，√17-1/2）
综上，Q（2，3）（3+√17/2，-1-√17/2）（3-√17/2，√17-1/2）