Question

已知双曲线中心在原点且一个焦点为（根号7,0），直线y=x-1与其相交于M,N，MN中点

已知双曲线中心在原点且一个焦点为（根号7,0），直线y=x-1与其相交于M,N，MN中点的横坐标为-2/3，则此双曲线的方程式为

Answer 1

y=x-1
c^2=a^2+b^2=7 …… ①
x^2/a^2-y^2/b^2=1
将y代入上式，整理化简为一元二次方程：
（a^2-b^2）x^2-2a^2x+a^2+a^2b^2=1
那么根据韦达定理
x1+x2=2a^2/(a^2-b^2)
MN中点的横坐标为为x1+x2/2
所以a^2/(a^2-b^2)=根号7 …… ②
解得： a^2=2 b^2=5
所以 x^2/2-y^2/5=1

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