Question

已知函数f(x)=|2x-3|,若0<2a<b+1,且f(2a)=f(b+3), 则T=3a^2+b的取值范围

Answer 1

f(x)函数图像且有对称轴是 直线x=1.5 即满足：f(3-x)=f(x)
图像的画法是先画2x-3,再把x轴下侧翻到上面去。

上面这个恒等式含义是（用图像也可以看出）：对于任意两个变量，如果两个变量之和为3（等价于两个变量的中点是1.5），则这两者的函数值相等。

由于b+3>2a, 欲使两函数值相等，可以用反证法先证明一下：当b+3 和2a都大于1.5或都小于1.5时，两函数值相等必须会推出 b+3=2a这一矛盾。所以可得b+3<1.5, 3a>1.5成立，
于是根据对称性有：b+3+3a=3 （即b+3和3a两个变量是关于1.5左右对称的）

于是T=3a^2-3a (3a>1.5) 属一元二次函数，画抛物线即可。