Question

一道关于双曲线的高中数学题~拜托啦~

已知双曲线为x^2/a^2-y^2/b^2=1的顶点为A1,A2，左焦点为F1，P为双曲线右支上任一点，证明：以PF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切。
各位高手帮忙看一下啦~

Answer 1

要看清事物的本质才是王道！！
你想想看内切有什么性质？不就是两个大圆的半径R(1/2PF1)-小圆的半径r(a)=两圆的圆心距离？
我现在连接PF2 设以PF1为直径的圆圆心为S 连接SO
那么SO不就是三角形F1PF2的中位线么？
所以SO=1/2PF2为两圆圆心距离
又因为PF1-PF2=2a
a=1/2PF1-1/2PF2
所以R-r=1/2PF1-a=1/2PF2=SO
得证

Answer 2

双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1，则：
A1(-a，0)，A2(a，0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，
据题意设点P(x，y)，(x>a) 则：x^2/a^2-y^2/b^2=1。
以PF1为直径的圆圆心M为( (x-c)/2，y/2)，半径：R=1/2*|PF1|，
|A1A2|=2a，
以A1A2为直径的圆圆心O为( 0，0)，半径：r=1/2*|A1A2|=a，
在三角形 F1PF2中，M、O分别是F1P、F1F2的中点，所以
|MO|=1/2|PF2|，
根据双曲线的定义，有
|PF1|-|PF2|=2a ，所以
|MO|=1/2|PF2|=1/2*(|PF1|-2a)=1/2*|PF1|-a=R-r，
所以以PF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切。