一道关于圆锥曲线的数学题
椭圆长轴端点为A、B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且向量AF*向量FB=1,向量OF的模等于1。(1)求椭圆的标准方程。(2)记椭圆的上顶点为M,直线L交椭圆于P、Q...
椭圆长轴端点为A、B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且向量AF*向量FB=1,向量OF的模等于1。
(1)求椭圆的标准方程。
(2)记椭圆的上顶点为M,直线L交椭圆于P、Q两点,问:是否存在直线L,使点F恰为△PQM的垂心?如存在,求出直线L的方程,若不存在,请说明理由。
第一小题我已解出,就不麻烦您跟我讲第一小题了。 展开
(1)求椭圆的标准方程。
(2)记椭圆的上顶点为M,直线L交椭圆于P、Q两点,问:是否存在直线L,使点F恰为△PQM的垂心?如存在,求出直线L的方程,若不存在,请说明理由。
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1、椭圆方程为x²/2+y²=1
2、设P(x1,y1)Q(x2,y2),设直线存在,PQ垂直MF,MF的方程为x+y-1=0,斜率=-1。PQ斜率=1.
PQ方程设为y=x+m.带入椭圆方程得3x²+4mx+2m²-2=0
x1+x2=-4m/3,x1x2=(2m²-2)/3..............①
PF垂直MQ,PF斜率=y1/(x1-1).MQ斜率=(y2-1)/x2.二者相乘=-1,
即y1(y2-1)/x2(x1-1)=-1,
(x1+m)(x2+m-1)=-x2(x1-1)即2x1x2+x1(m-1)+(m-1)x2+m(m-1)=0
即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m(m-1)=0
①式带入得3m²+m-4=0,m=1或-4/3。m=1舍去,所求直线方程为y=x-4/3.存在。
2、设P(x1,y1)Q(x2,y2),设直线存在,PQ垂直MF,MF的方程为x+y-1=0,斜率=-1。PQ斜率=1.
PQ方程设为y=x+m.带入椭圆方程得3x²+4mx+2m²-2=0
x1+x2=-4m/3,x1x2=(2m²-2)/3..............①
PF垂直MQ,PF斜率=y1/(x1-1).MQ斜率=(y2-1)/x2.二者相乘=-1,
即y1(y2-1)/x2(x1-1)=-1,
(x1+m)(x2+m-1)=-x2(x1-1)即2x1x2+x1(m-1)+(m-1)x2+m(m-1)=0
即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m(m-1)=0
①式带入得3m²+m-4=0,m=1或-4/3。m=1舍去,所求直线方程为y=x-4/3.存在。
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由题,c=1,a-c=1,所以a=2,b=√3,方程为x^2/4+y^2/3=1;
第二问;√3y-x-3=0满足。
解法;由F为垂心所以MF与直线PQ垂直,得出直线斜率1/√3;
设直线PQ:√3y-x+b=0
同时由题满足MP垂直于QF,通过设点坐标得,
(1)y1y2+x1x2=√3y1-x2=x1+x2-b
将直线带入椭圆方程得:
(2)x1x2=4b^2-36/1^23 ;
(3) y1y2=(3b^2-12)/13
(4) x1+x2=8/13*b
联立1234式解得b=-3或b=16/7(舍)
综上;√3y-x-3=0满足条件
第二问;√3y-x-3=0满足。
解法;由F为垂心所以MF与直线PQ垂直,得出直线斜率1/√3;
设直线PQ:√3y-x+b=0
同时由题满足MP垂直于QF,通过设点坐标得,
(1)y1y2+x1x2=√3y1-x2=x1+x2-b
将直线带入椭圆方程得:
(2)x1x2=4b^2-36/1^23 ;
(3) y1y2=(3b^2-12)/13
(4) x1+x2=8/13*b
联立1234式解得b=-3或b=16/7(舍)
综上;√3y-x-3=0满足条件
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讨论直线斜率不存在的情况下是否存在L
再讨论斜率存在的情况 设出直线 与椭圆联立,求出x1+x2
x1*x2(韦达定理)需要的话求出Y1Y2 Y1+Y2
然后利用向量的两直线垂直 内积为0 PF*QM=0
即可。
这个向量写起来太麻烦了。
你还是自己一步一步算吧, 这样的题就是根据所给条件硬算
慢慢算就出来了。
加油。希望对你有所帮助,
再讨论斜率存在的情况 设出直线 与椭圆联立,求出x1+x2
x1*x2(韦达定理)需要的话求出Y1Y2 Y1+Y2
然后利用向量的两直线垂直 内积为0 PF*QM=0
即可。
这个向量写起来太麻烦了。
你还是自己一步一步算吧, 这样的题就是根据所给条件硬算
慢慢算就出来了。
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