Question

高二数学抛物线题，高手进

已知抛物线y²=2px,准线l与x轴交于N点,过焦点F作直线与此抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），使AB⊥AN，M是点B在x轴上的射影
1.证明：4x1x2=p²
2.|x1-x2|的值（用p表示）
3.求证：∠MAB=∠MBA

Answer 1

N（-p/2，0）、P（p/2，0）
(1)设A（2pa^2，2pa）、B（2pb^2，2pb）
kAB=(2pa-2pb)/(2pa^2-2pb^2)=1/(a+b)
直线AB:y-2pa=(x-2pa^2)/(a+b)（或AB:y-2pb=(2pb^2)/(a+b)）经过点P
故-2pa=(p/2-2pa^2)/(a+b)
即(a+b)=(4a^2-1)/4a <1>
同理有(a+b)=(4b^2-1)/4b <2>
由<1><2>得a-1/4a=b-1/4b=c
又a不等于b
故a,b是方程X^2-CX-1/4=0的两根
故ab=-1/4
故4x1x2=4(2pa^2)(2pb^2)=p^2
(2)kAN=2pa/(2pa^2+p/2)=4a/(4a^2+1)
AB垂直于AN，即kAB*kAN=-1
即1/[(a+1/4a)(a+b)]=-1 <3>
联立<1><3>解得a^2=[5^(1/2)-2]/4
又ab=-1/4
故b^2=[5^(1/2)+2]/4
故|x1-x2|=|2pa^2-2pb^2|=2p
(3)M（2pb^2，0）
AM^2-BM^2=……=0
故AM=BM

Answer 2

1：设y=k(x-p/2) 带入y2=2px, 得4x1*x2=p2.