Question

函数高考题一道

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1
（1）讨论f(x)的单调性
（2）设a<-1,如果对任意x1,x2∈（0，正无穷），|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|
，求实数a的取值范围
第二问答案给的方法是构造函数f(x)+4x，但我不知道我的方法是否可以
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Answer 1

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1
（1）讨论f(x)的单调性
（2）设a<-1,如果对任意x1,x2∈（0，正无穷），|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|
，求实数a的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1，其定义域为x>0
f’(x)=(a+1)/x+2ax=(2ax^2+a+1)/x=0==>x1=√[-(a+1)/(2a)]
(a+1)/(2a)<=0==>-1<a<0
f’’(x1)=-(a+1)/x1^2+2a<0，函数f(x)在x1=√[-(a+1)/(2a)]处取极大值
∴当x(0,x1)时，函数f(x)单调增，当x(x1,+∞)时，函数f(x)单调减。
当a<=-1时，f’(x)<0，函数f(x)单调减
当a>=0时，f’(x)>0，函数f(x)单调增.
(2)解析：设a<-1,如果对任意x1,x2∈（0，+∞），有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立
由（1）知，当a<=-1时，f’(x)<0，函数f(x)单调减
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|>=4
即当|x1-x2|→0时，|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=|f’(x)|>=4
|f’(x)|=|(a+1)/x+2ax|>=4
(a+1)/x+2ax<=-4
2ax^2+4x+a+1<=0
∵a<-1,x>0
⊿=16-8a(a+1)<=0==>a^2+a-2>=0==>a<=-2

(a+1)/x+2ax>=4
2ax^2-4x+a+1>=0
∵a<-1,x>0
⊿=16-8a(a+1)<=0==>a^2+a-2>=0==>a<=-2
∴实数a的取值范围a<=-2