Question

一道与图形的变换有关的数学题

如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子，动点P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为y平方厘米。
（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式。
（2）当皮筋刚好触及钉子时，求x值。
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式。
（4）0≤x≤1时，请在下图给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，并写出y与x之间的函数关系式。

Answer 1

解：(1)
当0≤x≤1时，P始终在线段AB上运动，且AP = 2x ；
Q始终在线段AD上运动，且AQ = x ；
此情形下，橡皮筋扫过的面积为 y = S△APQ
= （1/2）× AP × AQ
=（1/2）× (2x) × （x）
= x2 （x的平方）
故 当0≤x≤1时，y与x之间的函数关系式为 y = x2 (0≤x≤1)

（2）由 （1）问知，当x=1时，P运动到B， Q运动到AD终点处。此时PQ尚未触及O点。
故，“皮筋刚好触及钉子时” 的时刻 大于 1秒（即P越过了点B、而Q仍在AD上）。
“皮筋刚好触及钉子时” 意为：点O 是梯形AQPB 的腰PQ 的中点。
过O作 OE ⊥ AB 于 E，则OE=1，且OE是梯形AQPB 的 中位线，故BP + AQ =2OE =2。
此时，P运动的路程为 2x，BP=2x--AB = 2x--2，
Q运动的路程为 AQ= x，
由BP + AQ =2OE =2 得：
（ 2x--2 ）+ x = 2
x = 4/3
故 当x = 4/3 秒时， 皮筋刚好触及钉子。

（3）当1≤x≤2时，P始终在线段BC上运动，且 BP= 2x -- AB = 2x -- 2；
Q始终在线段AD上运动，且AQ = x ；
此情形下，y 可以看作是 梯形OEBD 和 梯形OEAQ 的 面积的和。
y = （1/2）×（OE + BP）× 1 + （1/2）×（OE + AQ）× 1
= （1/2）×（1 + 2x -- 2）× 1 + （1/2）×（1 + x）× 1
= （1/2）× (3 x)
=3x/2
故 当1≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为： y = 3x/2 (1≤x≤2)。

（4）当0≤x≤1时，y与x之间的函数关系式为： y = x2 （x的平方）
其图像为：二次函数 y = x2 上的满足0≤x≤1的那一段曲线；

当1≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为： y = 3x/2 (1≤x≤2)，
其图像为： 正比例函数y = 3x/2 上的满足1≤x≤2的那一段， 即线段FG，
F坐标为（1, 3/2） G坐标为（2， 3）.

画图您会。 祝您新春愉快！