Question

如图是二次函数y=(x+m)^2+k的图象,其顶点坐标为M(1,-4)

(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=5/4S△MAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

Answer 1

(2) P点有两个（-2，5）（4，5）
因m=-1,k=-4,S△PAB=5/4S△MAB=10
而AB=4，则只需|y|=5，又y的最小值为-4 ，所以y应在x轴上方找，即y=5时，x=-2或4,△PAB=10
(3)结合新图像，b=1时，与中间一段y=-(x-1)^2+4有二交点，-3<b<1时与中间一段有1个交点，此时恰好与右侧一段又有一个交点（共2个），而b=-3时有一个交点，b<-3时没有交点。则所求范围应是-3<b<1

Answer 2

（1）∵M为顶点(最低点)，∴函数解析式为 y=(x-1)² - 4
∵S△PAB=5/4S△MAB 且这两个三角形是同底的，
∴面积之比即为高之比，即P点纵坐标为5
∴ 将y = 5代入函数解析式
得P为（-2，5）（4，5）
（2）抛物线与x轴的交点为 y = 0
(x-1)² - 4=0，x=-1或3，两交点为(-1,0)(3,0)
将图形翻折后得到的函数为分段函数
当x<-1或x>3时 y=(x-1)² - 4
当-1<x<3时，y= - (x-1)² + 4
函数图像变为：\/\/ 形，是关于直线x=1对称的图象，最左右两边可以向上无限延伸
当y=x+b与对称轴右边两支相交时只有两个交点，-3<x<1
当y=x+b与最左右两支相交而不与中间相交时也只有两个交点，
- (x-1)² + 4=x+b 有唯一的解 x² -x+b-3=0，△ = 1-4(b-3)=0，b=13/4
∴当b>13/4时也有两个交点
∴当b>13/4或-3<x<1时直线与抛物线有两个交点

Answer 3

解:no1:
在y=(x-1)^2-4中
令y=0
(x-1)^2-4=0
(x-1)^2=4
x-1=±2
∴x1=3 x2=-1
∴A(-1,0)B(3,0)

no2:作PQ⊥x轴于Q
∴1/2·AB·PQ=5/4·1/2·AB·4
∴PQ=5
∴Yp=5
或Yp=-5(舍去)
∴(x-1)^2-4=5
∴(x-1)^2=9
∴x-1=±3
x1=4,x2=-2
∴P(4,5)或P(-2,5)

no3:若直线y=x+b经过B点
∴3+b=3

∴b=-3

若直线y=x+b经过A点
∴-b+1=0＜＞
∴b=1
∴-3＜b＜1

Answer 4

(1)、∵二次函数Y=(x+m)^2+k的图像，其顶点坐标为M（1，-4）
∴m=-1,k=-4
函数的解析式是：Y=（x-1)²-4。
当y=0时，（x-1)²-4=0
即：x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x1=-1,x2=3
所以：A点的坐标是（-1，0）；B点的坐标是（3,0）。

（2）S△MAB=1/2×|3-（-1）|×|-4|=8
S△PAB=5/4S△MAB=5/4×8=10
△PAB以AB为底的高=10×2÷|3-（-1）|=5
所以：（x-1)²-4=5
即：x²-2x-8=0
（x+2)(x-4)=0
x3=-2,x4=4
那么：P点在（-2,5）或者（4,5）时，S△PAB=5/4S△MAB。

（3）y=x+b经过B点(4,0)时，4+b=0,b=-4,与图像有一个交点；
y=x+b经过A(-1,0)点时，-1+b=0,b=1,与图像有三个交点；
y=x+b经过M'(1,4)点时，1+b=4,b=3,与图像有三个交点；
所以：当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时，b的取值范围是-4<b<1或者b>3