Question

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图像，其顶点坐标为M（1.-4

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图像，其顶点坐标为M（1.-4
（1）求出图像与x轴的交点A，B的坐标
（2）在二次函数的图像上是否存在点P，使S△PAB=5／4S△MAB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由
⑶在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标

Answer 1

(1)、∵二次函数Y=(x+m)^2+k的图像，其顶点坐标为M（1，-4）
∴m=-1,k=-4
函数的解析式是：Y=（x-1)²-4。
当y=0时，（x-1)²-4=0
即：x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x1=-1,x2=3
所以：A点的坐标是（-1，0）；B点的坐标是（3,0）。

（2）S△MAB=1/2×|3-（-1）|×|-4|=8
S△PAB=5/4S△MAB=5/4×8=10
△PAB以AB为底的高=10×2÷|3-（-1）|=5
所以：（x-1)²-4=5
即：x²-2x-8=0
（x+2)(x-4)=0
x3=-2,x4=4
那么：P点在（-2,5）或者（4,5）时，S△PAB=5/4S△MAB。

（3）y=x+b经过B点(4,0)时，4+b=0,b=-4,与图像有一个交点；
y=x+b经过A(-1,0)点时，-1+b=0,b=1,与图像有三个交点；
y=x+b经过M'(1,4)点时，1+b=4,b=3,与图像有三个交点；
所以：当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时，b的取值范围是-4<b<1或者b>3。

Answer 2

3）做M点关於Y轴对称点M2，（或做B关於Y轴对称点），则M2（-1.-4),连接BM2交Y轴於Q点，
则过M2点的BM2方程式为y-(-4）=4/4（x+1) 即y=x-3 令X=0则y=-3 Q(-3.0)
同理，（或做B关於Y轴对称点B2），则B2（-3.0),过B2点B2M方程y=4/(-2)(x+3) =-2x-6 令X=0 解的y=-6 Q(-6，0）所以点Q坐标（-3，0）或（-6,0)

以上用到一点M2Q=QM 和B2Q=BQ