Question

抛物线求解。

AB是抛物线C:y²=2Px（P＞0）上两个动点,F是焦点,直线AB不垂直于X轴且交X轴于点D.
若AF+BF=8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0），求抛物线C的方程。

Answer 1

解：可运用点差法＋第二定义。设A(x1,y1)，B(x2,y2),AB中点M(xo,yo),则x1+x2=2xo,y1+y2=2yo，A,B在曲线上有y1^2=2px1,y2^2=2px2,两式相减得直线AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)=p/yo,从而易得其垂直平分线方程为：y=-(yo/p)(x-xo)+yo，(注意到yo!=0)且过定点Q(6,0)，代入得到xo=6-p,由抛物线第二定义得：AF=x1+p/2,BF=x2+p/2，于是AF+BF=x1+x2+p=2xo+p=2(6-p)+p=8,解得p=4,可得抛物线方程为y^2=8x，完毕！

Answer 2

P=4 解析：AF+BF即XA+XB+P=8(一式) 又设点A.B并求其中垂线方程，把Q点代入，联立一可求出P为4……