Question

高中数学三角

(√2+sinα) / (√2+cosα) 的值域（α∈R）？过程和结果。感激。

Answer 1

(√2+sinα) / (√2+cosα)
=[sinα-(-√2)]/[cosα-(-√2)]

表示的几何意义为：
平面直角坐标系中点（cosα,sinα）和点（-√2，-√2）连线的斜率，
而由于α∈R，为任意实数
故动点（cosα,sinα）的组成集合为单位圆 x²+y²=1，
故连线段所在直线与圆与两侧相切时，
斜率分别取得最大，最小值，
分别为tan75°和tan15°，
即2+√3 和 2-√3,
故原函数值域为[2-√3，2+√3]

Answer 2

上题等价于求过(sin a,cos a)和(-√2,-√2)两点的直线的斜率范围
由于(sin a,cos a)是以原点为圆心,1为半径的圆.
设直线y+√2=k(x+√2),与圆相切
{√2k-√2}/√(k^2+1)=1 其中{}是绝对值符号
计算可得,k1=2+√3,k2=2-√3
所以值域是[2-√3,2+√3]