Question

若AB为过椭圆x2/25+y2/16=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则三角形F1AB的面积最大值

Answer 1

如图所示:三角形F1AB可以看作两个等底的两个小三角形组成,底等于焦距的一半,即底c=3

S三角形F1AB=(1/2)*(底*高1+底*高2),面积的大小由(高1+高2)的长度决定,即H的高度

从图中得出.当高H为短轴长的时候.长度最长,即红色三角形的面积最大

短轴长为2b=2*4=8

所以三角形F1AB的面积最大值是S⊿F1AB=(1/2)*3*8=12

Answer 2

容易知道OA=OB。所以△OAF1面积等于△OBF1的面积。
△OAF1的面积，以OF1为底来看，对应的高最大值是短轴长4,即△OAF1最大面积是4*3/2=6
而△BAF1的面积就是△OAF1面积+△OBF1=6+6=12

Answer 3

一楼做的结果是对的，但内容好像有点问题：“所以△OAF1面积等于△OBF1的面积”这句有点问题S△OAF1≠S△OBF1（∵这2个三角形中OA=OB且OF1是公共边，AF1≠BF1）
现提供3种方法供参考：

方法1（参数方程法）：∵AB过原点∴A点与B点关于原点对称∴所以设A（5cos θ ,4sin θ )则B（-5cos θ ,-4sin θ )；S△F1AB=S△OAF1+S△OBF1又∵这2个三角形有公共边OF1=c=3,（S△OAF1与S△OBF1都用S=底 ×高÷2这一公式）∴S△F1AB=（c×丨y1-y2丨)÷2=3×8sin θ÷2=12sin θ≤12

方法2(基本方法）：S△F1AB=S△OAF1+S△OBF1=（c×丨y1-y2丨)÷2=（3×丨y1-y2丨)÷2然后

情况（1）：当K存在时，设AB：y=kx代入椭圆x2/25+y2/16求出丨y1-y2丨得60× √丨K平方丨 × √[25×K平方×16] ÷ （25×K平方×16） ＜12

情况（2）：K不存在时S=b×2c ÷2=12

综合情况（1）（2）得S≤12

方法3（最基本方法）：

情况（1）：当K存在时，设AB：y=kx代入椭圆x2/25+y2/16，S=d×AB÷2(d为点F1到直线AB距离，用点到直线距离公式可用K表示出来,把AB弦长也用K表示出来，结果得的依然像上一种方法的一样，即S＜12)

情况（2）：K不存在时S=b×2c ÷2=12

综合情况（1）（2）得S≤12

显然第一种方法较易（第三种方法为通用方法，只是用的时间太长，速度慢的甚至可能要花20分钟，第一种方法只需几秒钟，甚至可以能口算出结果来，应该要掌握！）；参数方程法求面积和距离最值一般都较简单！尤其出现如题中对称问题更易！仅供参考，新年快乐！