Question

已知函数f(x)=x+m/x，且f(1)=2,则函数f(x)在（1，正无穷）上是增函数还是减函数？

Answer 1

f(1)=1+m/1=2;
m=1;
f(x)=x+1/x;
设x2>x1>1;
则f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-(x1+1/x1)
上式通分以x1*x2为分母
得:[(x2^2)x1+x1-(x1^2)x2-x2]/(x1*x2) ~~{x2^2表示x2的平方,其他同理}
=[x1*x2(x2-x1)+(x1-x2)]/(x1*x2)
=[(x1*x2-1)(x2-x1)]/(x1*x2)
由x2>x1>1得x1*x2-1>0,x2-x1>0
则f(x2)-f(x1)>0
则f（x）在(1,正无穷)是增函数

Answer 2

f(1)=2得m=1 函数f(x)在（1，+∞）上是增函数
用定义证明就行了
设任取两个数x1,x2(1<x1<x2)
f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=(x1-x2)-[(x2-x1)/x1x2]
因为(1<x1<x2)
所以(x1-x2)<0 [(x2-x1)/x1x2]>0 所以(x1-x2)-[(x2-x1)/x1x2]<0
所以f(x1)<f(x2) 所以f(x)=x+1/x在〔1，正无穷〕上是增函数

Answer 3

f（1）＝2故m＝1
f（x）=x＋1／x
求导得f（x）=1-1／x2
x=±1时有极值
故（－∞,－1）∪（1,＋∞）单调递增
在（-1,0）∪（0,1）单调递减
所以f(x)在（1，＋∞）上是增函数