Question

设函数f(x)=x^2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若存在x0属于R，使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围是

设函数f(x)=x^2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若存在x0属于R，使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围是

Answer 1

f(x)=x^2-ax+a+3,是开口向上的抛物线，当其图象与X轴有两个交点时，能保证f(x)中存在点X0，使f(X0)<0，这时 △=a^2-4(a+3)>0 a>6 a<-2
抛物线与X轴的两个交点是A（ （a+根号△）/2，0），B（ （a-根号△）/2，0）
（1）当a>6，且g(（a-根号△）/2)=a（a-根号△）/2-2a<0时，存在X0使g(X0)<0，
根号△>a-4 a>7；
（2）当a<-2，且g(（a+根号△）/2)=a（a+根号△）/2-2a<0时，存在X0使g(X0)<0，
根号△>4-a， a>7与a<-2矛盾；
因此a>7

Answer 2

联立两函数
f(x)=g(x)
x^2-ax+a+3-ax+2a=0
x^2-2ax+3a+3=0
△=4a^2-12a-12
△<=0时
a^2-3a-3<0
(3-√21)/2<=a<=(3+√21)/2
此时f(x)在g(x)上方
只需满足f(x)min=f(a/2)=-a^2/4+a+3<=0
a<-2或a>6
与前面所得a的范围没有交集 所以这种情况不成立
△>0时
a>(3+√21)/2或a<(3-√21)/2
g(x)与x轴交于点（2，0）
如果满足x=2时 f(x)<0则存在x0使得f(x0)g(x0)同时小于0（自己画图可看出）
f(2)=4-2a+a+3=7-a<0
a>7
所以结合之前所得式a>7