Question

已知椭圆的方程2x^2+y^2=2,过一焦点的直线与椭圆交与A、B两点。求三角形ABO(O为原点）的面积的最大值

具体！！！

Answer 1

先设一条直线AB，方程y=ax+b，然后可以求出用ab表示的的圆心O到直线AB的距离h，又通过直线AB的方程和椭圆的方程可以求出用ab表示的A、B两点的距离d，然后可求出用ab表示的ABO面积代数式（0.5dh），这时求出代数式最大值的取值，这就是所求面积的最大值

Answer 2

解：2x²+y²=2
x²+y²/2=1
a²=2,b²=1,c²=2-1=1
焦点（0，1）（0，-1）
设过焦点的直线为y=kx+1
代入
2x²+k²x²+2kx+1=2
(k²+2)x²+2kx-1=0
x1+x2=-2k/(k²+2)
x1×x2=-1/(k²+2)
原点到AB的距离d=1/√(1+k²)
S△AOB=1/2×1/√(1+k²)×√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
=√[k²/(k²+2)²+/(k²+2)]
=√(k²+k²+2)/(k²+2)²
=√2×√(k²+1)/(k²+2)²
=√2×√[1/(k²+2)-1/(k²+2)²]
令y=1/(k²+2)-1/(k²+2)²,x=1/(k²+2)
y=x-x²=-(x²-x)=-(x-1/2)²+1/4
当x=1/2时，y有最大值=1/4
此时k=0
S三角形最大值=√2/2
当直线过焦点（0，-1）时，过程一样