Question

将矩形ABCD纸片折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，连接AF、CE. （1）试说明四边形AFCE是菱形.

（2）若AB=3，BC=4，求菱形AFCE的面积

Answer 1

因为是折叠所以AE=EC AF=FC EF=EF 所以三角形AEF全等三角形EFC(SSS) 所以角FEC=角EFA 所以EC平行AF 在平行四边形ABCD中 AE平行FC 所以AECF也是平行四边形
AE=EC 所以AFCE是 菱形
（2）设FC为X AF=FC
3^2+(4-X）^2=X^2
求解之后 AB*FC就是菱形的面积了

Answer 2

解：设BF=X
∵AECF为菱形
∴AF=CF=BC--BF=4--X
∵∠B=90°
∴AB²＋BF²=AF²
及3²+X²=（4－X)²
∴X=7／8 BF=4－X=25／8
S=BF×AB=25÷8×3=75／8

Answer 3

证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴AE/AP=AO/AE ，则AE^2=A0•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO=1/2AC，
∴AE^2=1/2AC•AP，
∴2AE^2=AC•AP．