Question

高三函数问题求教

已知函数f(x)=x^2+mx+n㏑x(x>0,实数m、n为常数）。若对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1,函数f(x)在区间（a,b)上总是减函数，对每个给定的n,求m的最大值h(n).

Answer 1

f'(x)=2x+m+n/x<0
2x^2+mx+n<0
[-m-√(m^2-8n)]<x<[-m+√(m^2-8n)]/4
因为（a,b)在该区间内且a∈[1，2]，b-a=1
[-m-√(m^2-8n)]/4≤1
[-m+√(m^2-8n)]/4≥2+1=3
解得m≤-n/2+1=h(n1)
或m≤-4n/3+3/2=h(n2)
h(n1)-h(n2)
=5n/6-1/2
h(n1)-h(n2)>0时
n>3/5 时h(n)=h(n1)=-n/2+1
n=3/5 时h(n)=7/10
n<3/5时 h(n)=h(n2)=-4n/3+3/2