Question

函数f(x)=x^2-8lnx,g(x)=-x^2+14x,若方程f(x)=g(x)+m有唯一解，求实数m的值

Answer 1

若方程f(x)=g(x)+m有唯一解，则F(x)=f(x)-g(x)-m与x轴只有一个交点
即2x^2-8lnx-14x-m=0有唯一解
则F'(x)=4x-(8/x)-14
函数的定义域为(0,+∞)
令F'(x)=0
4x-(8/x)-14=0
2x-(4/x)-7=0
2x^2-7x-4=0
(2x+1)(x-4)=0
x=-1/2(舍去)或x=4
在(0,4),F'(x)<0,为单调递减
在(4,+∞),F'(x)>0,为单调递增
所以函数x=4处有极小值，代入方程f（x）=g（x）+m得
16－ln4=-16+56+m
m=-24-8ln4