Question

一道数学题，求解法和答案！

已知AB垂直于MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC垂直于AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长。
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域
（2）在点P运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，用x的代数式表示这段距离；若不发生变化，求出这段距离
（3）如果圆C与直线MN相切，且以BP为半径的圆P也相切，求BP：PD的值

Answer 1

解：（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，
∴∠ABP=∠CAP=90°．
又∵∠ACP=∠BAP，
∴△ABP∽△CAP．（1分）
∴ BPAP=APPC．
即 xx2+16=x2+16y．（1分）
∴所求的函数解析式为 y=x2+16x（x＞0）．（1分）

（2）CD的长不会发生变化．（1分）
延长CA交直线MN于点E．（1分）
∵AC⊥AP，
∴∠PAE=∠PAC=90°．
∵∠ACP=∠BAP，
∴∠APC=∠APE．
∴∠AEP=∠ACP．
∴PE=PC．
∴AE=AC．（1分）
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB‖CD．
∴ ABCD=AECE=12．（1分）
∵AB=4，
∴CD=8．（1分）

（3）∵圆C与直线MN相切，
∴圆C的半径为8．（1分）
（i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8，
∴ x2+16x=x+8，
∴x=2，（1分）
∴BP：PD= 13．（1分）
（ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，
∴ x2+16x=|x-8|．
∴ x2+16x=x-8或 x2+16x=8-x．
∴x=-2（不合题意，舍去）或无实数解．（1分）
∴综上所述BP：PD= 13．