Question

数学求极值

一段三米长的绳子，被剪程三段，每两段的长度相乘后，再相加。
求相加后的最大值。
即，求 S = AB + AC + BC 的最大值，A + B + C = 3

请给出具体的解题过程。
一段三米长的绳子，被剪成三段，每两段的长度相乘后，再相加。

请用微积分解答!!!

Answer 1

解：S取最大值时，2S也取到最大值。
而2S=AB+AC+BC+BA+CA+CB=A(B+C)+B(A+C)+C(A+B)=A(3-A)+B(3-B)+C(3-C)=3(A+B+C)-(AA+BB+CC)=9-(AA+BB+CC)
容易知道，原题等价于：
min(P)
P=AA+BB+CC
A+B+C=3;
0<A<3
0<B<3
0<C<3
可知，若ABC分别代表一个点（3维）的坐标，所有满足条件的点在空间构成一个平面，方程为：
x+y+z+3=0。
而规划目标就是这个平面上到原点距离最短的点。
因为平面外一点到平面上距离最短的点位该点在平面上的射影。
因为这个平面与xoy,yoz,zox平面构成一个正四面体，容易知道射影就是这个面的中心。
所以得到a=b=c=1这组唯一解。
稍后补充计算射影的解析方法。

Answer 2

消去c，再利用基本不等式可得a=b=c=1时，取得最大值，s=3