Question

请朋友老师来帮助讲解一道《高等代数》的欧氏空间的数学题！！！！

请朋友来帮助我解决分析一道《高等代数》的欧氏空间的数学题！！！！
有一例题我不明白，原例题是例2：考虑定义在闭区间[0，2∏]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0，2∏](参看上节例题3).函数组1,COSX,SINX,COX2X,SIN2X,......,COSNX,SINNX,......构成C[0，2∏]的一个正交组.
我的分析:因为同一个向量空间可以引进不同的内积定义,使它作成欧氏空间。同一个向量空间对于不同的内积所作成的欧氏空间认为是不同的。所以我认为本例题应该首先给出此题欧氏空间的内积定义的具体模型。在本例题中，是否本例题的内积定义依靠（参看上节例题3)这句话？我就是对（参看上节例题3)的作用不明白，它的作用就是给于本例题的具体内积吗？如有具体的内积定义，只要先证每个函数都不是零函数。再证这些函数两两正交就可以证明，这我明白。
备注：上节例题3：令C[A，B]是定义在[A，B]上的一切连续实函数所成的向量空间。设F（X），G（X）属于C[A，B]，我们规定〈F，G〉={积分符号，积分下限是A，积分上限是B}F（X）G（X）dx。因此，〈F，G〉是F（X）与G（X）的内积，C[A，B]对于这个内积作成一个欧氏空间。

Answer 1

楼主，你首先要搞清楚，前一节的例3是为了给出“定义在[A，B]上的一切连续实函数所成的向量空间是欧式空间”这一结论，即满足[A，B]上的一切连续实函数所成的向量空间是欧式空间。那么本题中定义在闭区间[0，2π]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0，2π]必然是一个欧式空间，因为这里的闭区间[0，2π]就相当于例3中的[A，B]，例3对于本例的作用到此为止。再往下看，编者给出的1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，........，cosnx，sinnx.......（注意，这个函数组是编者随意取的，我还可以取闭区间[0，2π]上的切比雪夫多项式，它也满足本例题）这一族函数显然满足是在[A，B]上的一切连续实函数，那么最后在按照你的分析，只要先证每个函数都不是零函数，再证这些函数两两正交。所以，它的作用并不是给于本例题的具体内积表示，只是本题中的对象是笔者随意取的，因为定义在闭区间[0，2π]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0，2π]这样的函数组可以取无穷多个。所以楼主应该注意例题间的前后关系呀。

注：切比雪夫多项式是数值分析中正交函数逼近中常取的函数族。

Answer 2

应该就是按照例3中的方法定义内积，作为一个完整的题目先要验证〈F，G〉的定义满足内积性质。
然后用积化和差公式易证函数族中任意不相同两项的正交性，且各项非零，故构成欧式空间中的正交组。

Answer 3

上面都没有注意欧式空间的完整定义。要确定欧式空间是有条件的。缺少一点就不能说构成欧式空间。
主要有两点：一是给定向量空间；二是给定这个向量空间中的某个二元运算。
然后按照欧式空间的定义逐一验证。注意上面两个条件缺一不可，不能单说某个向量空间是欧式空间。对于你说的那个题目，题目指明了这个二元运算是上题的，你就按照这个来。
不过我要提醒的是，如果说1，sinx,cosx,sin2x,cos2x,.....,sinnx,cosnx,...... 是正交组，上面你说的那些验证也就足够了，不过如果说是基本正交组，还必须验证这组函数组能够线性表出空间的任意函数，按照Fourier级数理论这是正确的，所以这组函数是基本正交组。

Answer 4

我觉得：应该就是按照例3中的方法定义内积，作为一个完整的题目先要验证（F，G）的定义满足内积性质。
然后用积化和差公式易证函数族中任意不相同两项的正交性，且各项非零，故构成欧式空间中的正交组。

Answer 5

一楼二楼的说了等于没说，我个人更倾向于三楼的看法，张禾瑞的书我教过很多遍了，我认为本例题是基于前节例题的基础之上展开的，内积定义根据说法不同表示形式并不唯一。四楼好像是在阐述欧式空间的定义，但好像也没有说到要害，但也精僻。以上是我的观点。