Question

已知{an}是等比数列，其中a1=2,且a2,a3+1,a4成等差数列。求：1.{an}的通项 2.{an}前n项和

Answer 1

1、设{an}的公比为q。因为a2、a3+1、a4成等差数列，a1=2，所以a1q+a1q^3=2(a1q^2+1)，代入数据化简得：q^3-2q^2+q-1=0。下面问题转化为解这个一元三次方程，分以下步骤进行：
(1)做变换q=x+2/3，代入式中消去q^2项，化简有x^3+x/3-25/27=0。
(2)令x=u+v，则x^3=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)=3uvx+(u^3+v^3)，移项有x^3-3uvx-(u^3+v^3)=0
(3)我们比较两个关于x的一元三次方程，有-3uv=1/3，u^3+v^3=25/27。即(uv)^3=-1/729，u^3+v^3=25/27。
(4)令u^3和v^3是关于k的一元二次方程的两个根，则有k^2-25k/27-1/729=0。解此方程易得k=(25±√679)/54，故u=[(25+√679)/54]^(1/3)，v=[(25-√679)/54]^(1/3)。
(5)最后得到x的三个根，再换回q的三个根如下（一个实根，二个虚根）：
q1=x1+2/3=u+v+2/3=[(25+√679)/54]^(1/3)+[(25-√679)/54]^(1/3)+2/3
q2=x2+2/3=ωu+(ω^2)v+2/3=ω[(25+√679)/54]^(1/3)+(ω^2)[(25-√679)/54]^(1/3)+2/3
q3=x3+2/3=(ω^2)u+ωv+2/3=(ω^2)[(25+√679)/54]^(1/3)+ω[(25-√679)/54]^(1/3)+2/3
（注：ω=-1/2+i√3/2）
所以，{an}的通项为an=2q1^(n-1)或者an=2q2^(n-1)或者an=2q3^(n-1)。

2、由1已经求得的q和已知的a1便有相应的3个和Sn=2(1-q1^n)/(1-q1)或者Sn=2(1-q2^n)/(1-q2)或者Sn=2(1-q3^n)/(1-q3)。

经过验算的，答案无误。

Answer 2

a2+a4=2(a3+1） a1q+a1q3=2a1q^2+2 q^3-2q^2+q=2 q(q^2-2q+1)=2 q（q-1)^2=2 q=2 所以an=2^n 所以Sn=n（2+an)/2

Answer 3

思路如楼上，但解方程时步骤(1)中x的一次项系数为负，依此得最终答案中根号中的679改为的621。
注：此题与普通高考题难度不同，不适合作为模拟题，不必纠结，了解思路即可，佩服楼上！