Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a<b<0),AB是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P（x0，0）证明-（a^

Answer 1

解答:（1）将y=-x+1，代入b²x²+a²y²=a²b²,

b²x²+a²(-x+1)²=a²b²,即（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，

x1+x2=2a²/（b²+a²），x1•x2=（a²-a²b²）/（b²+a²），

∵OP⊥OQ，∴x1•x2+y1•y2=0，

即x1•x2+（x1-1）•（x2-1）=0

∴2x1•x2-（x1+x2）+1=0，

∴2a²-2a²b²-2a²+b²+a²=0，

得，b²+a²=2a²b²，即1/a²+1/b²=2，

（2）e²=1-a²/b²=1+1/(1-2a²),

∵1/2≤e²≤3/4, ∴3≤2a ²≤5,

∴长轴范围是√6≤2a ≤√10。

设直线AB方程为y=kx+m, 代入b²x²+a²y²=a²b²,

得，(b²+a²k²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0,

∴(x1+x2)/2=-kma²/(b²+a²k²),

(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+m=mb²/(b²+a²k²),

直线AB的中垂线方程为，

y- mb²/(b²+a²k²)= -1/k•[x+kma²/(b²+a²k²)]，

令y=0得，x0=km(b²-a²)/(b²+a²k²)，

又∵∆= 4k²m² a^4-4(b²+a²k²)a²(m²-b²)>0,

得, m²<b²+a²k²,

x0²=k²m² (b²-a²)² /(b²+a²k²)²< k² (b²-a²)² /(b²+a²k²)

= (b²-a²)² /(b²/k²+a²)<(b²-a²)² /a²,

∴x0的取值范围是：-(a²-b²)/a <x0<(a²-b²)/a.