Question

如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为AB1和A1C1上的点，A1N=AM.

问题：1.求证MN‖平面BB1C1C，
2.求MN的长的最小值

Answer 1

运用坐标法的话，建立空间直角坐标系，设出M，N点坐标，求解方程组就可以了。

说一下几何法吧。

首先作线段MP垂直A1B1于点P，连接NP。由面AC1垂直于面B1D1，而MP属于面AC1，故MP垂直于面B1D1。又NP属于面B1D1，故MP垂直NP。即三角形MPN为直角三角形。

可设AM=x，则A1N=x。正方体棱长为a，故AB1=根号2倍a，MB1=根号2倍a-x，而MP=MB1/根2，可得MP的x表达式，类似求得NP=x/根2,。由勾股定理得

 

故当x=2分之根2倍a时，MN最小，等于2分之根2倍a。