Question

高中数学题：已知a>0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+1/an,n=1,2,3……

（1）已知数列{an}的极限存在且大于0，求A=liman(将A 用a 表示）
（2）设bn=an-A ,n=1,2,3……证明：bn+1=(-bn) / A(A+bn)

Answer 1

1.对递推公式做迭代法得通项公式可表示为连分数
A=liman=a+1/an=1+1/A
A=（a+√（a*a+4））/2
2.bn=an-A
要证明原命题 只要证明（an+1）-A =（A-an）/A*an
只要证明 （an+1）-A= 1/an - 1/A
只要证明 an+1= A -1/A + 1/an
因为A=1+1/A 所以A-1/A=1
代入上式即为原条件
证毕

Answer 2

你那里是个链分数，你把它写开就能看到了
an+1=a+1/an=an+1=a+1/[a+1/[a+a(n-1)]=a+1/{a+1/{a+……
即有，A=a+1/A,A>0
所以，A=[a+√(a^2+4)]/2
2,
(-bn) / A(A+bn)=(A-an) /A(an-A+A)=)=(A-an) /(A*an)=1/an-1/A=1/an-2/[a+√(a^2+4)]
=1/an-2[a-√(a^2+4)]/[a^2-(a^2+4)]=1/an+[a-√(a^2+4)]/2=1/an+a-[a+√(a^2+4)]/2
=a(n+1)-A=b(n+1)
a，b后面小括号内跟的是下标