Question

求解抛物线的题

已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都有坐标原点,过点M(4,0）的直线l与抛物线C2分别相交于A,B两点。
1.写出抛物线C2的标准方程、
2.若向量AM=1/2MB向量，求直线l的方程、
3.若坐标原点o关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值

Answer 1

1):y^2=4x①(此时无声胜有声)
2):设直线:y=k(x-4)② ①②得到:k²x²-(4+8k)x+16k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2)，x1+x2=(4+8k)k^2⑤
由2<AM>=<MB>
得到:2(4-x1)=x2-4③,2k(4-x1)=k(x2-4)④
③④⑤得到:(3k+1)(k-1)=0,所以k=1/3或者k=1(验证过了均可取，用△ >0验证)
3):设椭圆x²/a²+y²/(a²-1)=1⑥
设P(y²/4,y),则-1/k=4y/y²即y=-4k
OP中点为E(2k²,-2k),带入直线k(2k²-4)+2k=0解得k=1或者-1
②⑥得到(a²-1)x²+a²(x-4)²-a²(a²-1)=0,由△=(2a²-17)(a²-1) ≥0
解得:a² ≥17/2