Question

设f(x)是定义在（0，正无穷）上的函数,对定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且x>1时，f(x)>0

(1)写出一个符合要求的函数，并猜想f(x)在（0，正无穷）上的单调性。
(2)若f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-3)≤2

想这一类的题目不太会，麻烦解释一下f(xy)=f(x)+f(y),这一类的式子什么意思？f(y)是代表一个式子吗？这一类的题目有什么好方法解题？

Answer 1

f(y)代表函数在自变量等于y的时候所对应的函数值。
解题方法就是找出特殊的点f（1），对函数进行分析。
解：
f(xy)=f(x)+f(y)； 有 f(1)=f(1)+f(1); f(1)=0;
f(1)=f(x)+f(1/x)=0; x>1时，f(x)>0; 有 0<x<1时，f(x)<0;
当x>y>1时，即有 x=ky； k>1; f(x)=f(ky)=f(k)+f(y)>f(y); f(x)>f(y)>0
由f(1)=f(x)+f(1/x)=0；当0<x<y<1时， f(x)<f(y)<0;
故有 f(x)在（0，正无穷）上单调递增；
（2）
f（x)+f(x-3)=f[x*(x-3)]
2=1+1=f(2)+f(2)=f(4);
因为 f(x)在（0，正无穷）上单调递增，f(x)+f(x-3)≤2；
有 x*(x-3)≤4
x2-3x-4≤0
解得-1≤x≤4

Answer 2

（1）符合要求的函数：f(x)=lnx,在定义域上单增：
（2）若f(2)=1，则f(x)表示以2为底x的对数。f(x)+f(x-3)≤2即为：
f(x)+f(x-3)=f(x(x-3))≤2
x(x-3)≤4
-1≤x≤4
f(y)表示一个函数，f(xy)=f(x)+f(y)表示函数f(x)中的x换成xy时的值为f(x)+f(y)

Answer 3

f(1)=2f(1)
f(1)=0
f(x)+f(1/x)=0
f(x2)-f(x1)
=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1) x2/x1＞1 △y＞0
增
2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)
f(x)+f(x-3)≤2 x＞3
x*(x-3)≤4 3＜x≤4
楼上定义域!