Question

数列{an}满足an+1=1/(2-an),若对任意的正整数n,均有an+1>an,则a1的取值范围

其中n+1，n是角标。

Answer 1

解：
①∵A(n+1)=1/(2-An). n=1,2,3……
∴两边同时减去1，可得：A(n+1)-1=[1/(2-An)]-1
=(An-1)/(2-An).
∴1/[A(n+1)-1]=(2-An)/(An-1)
=[1-(An-1)]/(An-1)=[1/(An-1)]-1.
∴1/[A(n+1)-1]-[1/(An-1)]=-1.
可设数列{Bn},Bn=1/(An-1). n=1,2,3, ……。
则B1=1/(A1-1).且B(n+1)-Bn=-1.
∴数列{Bn}是首项为B1,公差为-1的等差数列。
∴通项Bn=1-n+B1. n=1,2,3…..
∴1/(An-1)=1-n+B1.
∴An=(2-n+B1)/(1-n+B1). n=1,2,3…
②由题设可知：A(n+1) ＞An. n=1,2,3….即恒有：
（1-n+B1）/(B1-n) ＞(2-n+B1)/(1-n+B1).
∴整理可得：1/(B1-n) ＞1/(1-n+B1).
∴(B1-n)(B1+1-n) ＞0.即恒有：（B1-n）[B1-(n-1)] ＞0.
③可设A1=x.则由题设可知，A2=1/(2-x) ＞x.
解得：x＜2且x≠1.
又B1=1/(x-1).
∴把B1=1/(x-1)代入（B1-n）(B1-(n-1)) ＞0中，可得：
[1-n(x-1)][1+(x-1)(1-n)] ＞0. n=1,2,3…
【1】当n=1时，2-x＞0.成立。
【2】当n≥2时，应有[(x-1)-(1/n)][(x-1)-1/(n-1)] ＞0.
∴应恒有x-1＜1/n.或x-1＞1/(n-1). n=1,2,3…
∴x＜1,或1＜x＜2.
∴x∈(-∞,1) ∪(1,2).
即A1∈(-∞,1) ∪(1,2).

Answer 2

因为a2=1/(2-a1)且a2>a1所以：
a1≠2.
1/(2-a1)>a1.
1.当a1<2时，有：
a1*(2-a1)<1即：
a1^2-2a1+1>0解得：a1≠1。
2.当a1>2时，有：
a1*(2-a1)>1即：
a1^2-2a1+1<0无解。

所以，综上所述a1<2且a1≠1.