Question

快。。。。。高分悬赏，一道数学双曲线题

双曲线xˆ2∕aˆ2‐yˆ2∕bˆ2＝1(a〉0.b〉0)满足ab＝根号3.。。过右焦点F的直线L的斜率为根号21除以2.，交y轴于P，线段PF交双曲线于点Q，且绝对值PQ：绝对值QF＝2：1，求曲线方程。
不对，，我又错了，，题目是根号21再除以2.。。大家的解答是对的，，谢谢。

Answer 1

解：过焦点的直线方程为
y=√21/2（x-c）
当x=0时 y= -√21/2*c
所以 P（0， -√21/2*c）
设Q（x1,y1） c＞x1＞0
|PQ|=2|QF|
所以|PF|=3|QF|
所以 |y1|=√21/6*c
c=3（c-x1） 得x1=2c/3
P在双曲线上
所以 4c²/9a²-21c²/36b²=1
c²=a²+b²
ab=√3
得 16b^8-123b^4-189=0 得 （b^4-9)(16b^4+21)=0
所以b^4=9 b²=3 b=√3 a=1
曲线方程 x²-y²/3=1

Answer 2

解；FP：Y=√21／2X＋Yp
Q为FP的三等分点，∴Q（2／3C,Yp／3）
∵ab=√3∴a²b²=3
双曲线方程为X²／a²－a²y²／3=1
将Q带入直线方程
有 Yp=－√21c／2
∴Q(2c／3,－√21c／6)
带入双曲线方程（很麻烦，出现了8次方，耐心解）
得a²＝1
∴b²=3
双曲线方程为x²-y²／3＝1

Answer 3

解：【1】易知，右焦点F(c,0).
∵点P在y轴上，∴可设其坐标为P(0,p).
∵由题设可知，直线PF的斜率k=(√21)/6.
∴由斜率公式可得：k=(√21)/6=-p/c. ∴p=-(c√21)/6.
∴点P(0,-(c√21)/6).
【2】可设点Q(x,y).由题设|PQ|∶|QF|=2∶1.可知，向量PQ=2QF，即有：
(x,y+(c√21/6))=2(c-x,-y)=(2c-2x,-2y).
∴x=2c-2x,且y+(c√21/6)=-2y.
∴x=2c/3.y=-(c√21)/6.即点Q(2c/3,-c√21/6).
【3】∵点Q在双曲线(x²/a²)-(y²/b²)=1上，
∴有：(4c²/9a²)-(7c²/12b²)=1.即c²[(4/9a²)-(7/12b²)]=1.
把c²=a²+b²代入上式，整理可得：(4b²/9a²)-(7a²/12b²)=41/36.
再整理可得：(16b²/a²)-(21a²/b²)=41. ∴16b^4-21a^4=41a²b².
∵ab=√3. ∴a²b²=3. ∴b²=3/a².代入上式，整理可得：
7a^8+41a^4-48=0.即：（a^4-1）(7a^4+48)=0. ∴a^4=1.a²=1.
由a²b²=3,a²=1可得b²=3.
∴双曲线方程为x²-(y²/3)=1.