Question

高一数学题（数列篇）

一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则项数N的值为？
（请大致说明一下做法，谢谢）

Answer 1

n为偶数则可得奇数项=偶数项
170-85=85可得
(A[2]+A[4]+..+A[n])-(A[1]+A[3]+..+A[n-1])=A[1]+A[3]+..+A[n-1]
A[2]-A[1]=A[1]
A[4]-A[3]=A[3]
.
.
A[n]-A[n-1]=A[n-1]
A[n]=A[n-1]+A[n-1]
因此公比为2
通项公式为 A[n]=A[1]*2^(n-1)
由求和公式S[n]=(A[1]*(1-q)^n)/(1-q)
现在Sn=255,A[1]=1,q=2,解方程即可

注:[]内为数列下标,不参与运算,括号一律用()代替

Answer 2

等比数列的奇数项或偶数项组成的数列也是等比数列,
其公比相同,为原数列公比的平方.
故奇次项组成的等比数列的和为
a1*[1-q^(n/2)]/1-q^(n/2)=85...(1)
偶次项组成的等比数列的和为
q*[1-q^(n/2)]/1-q^(n/2)=170...(2)
(2)/(1)得q=2
a1(1-2^n)/(1-2)=255
2^n=256
n=8