Question

求助于一道高中数学题？写明详细步骤，谢谢

已知四棱锥p-ABCD，底面ABCD为菱形，PA垂直平面ABCD,角ABC=60°，E.F分别是BC.PC的中点。（1）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为2分之根号6，求二面角E-AF-C的余弦值？

Answer 1

看这个 在PAD平面，过A作AH'垂直PC于H'。连接AE、AH'、EH' 提示： 棱形∠ABC＝60。所以EA⊥AC。设棱形边为a,则：AE=√3*a/2。 又∵PA⊥ABCD。∴PA⊥EA ∴EA⊥面PAC ∴EA⊥PC 又∵AH⊥PC，∴PC⊥面AEH',∴PC⊥EH' ∠EH'A为EH与平面PAD所成最大角。 AEH'为直角三角形。 tan[∠EH'A]＝AE/AH'=(√3*a/2)/AH'=√6/2 所以AH'=√2a/2 所以∠ADH'=45度。则PA=a=AC。 则：AF⊥FC。 AF=√2a/2 EF=√2a/2 AE=√3a/2 AEF为等腰三角形。 过E作EG垂直于AF,过G作GK垂直AF，交AC于K。 求得EG＝√30a/8 AG=3√2a/8 GK‖FC,AF=FC 所以GK=AG=3√2a/8 AK=AG*√2=3a/4 CK=AC-AK=a/4 角ECK＝60度。恰好CK=EC/2 所以EK⊥KC。而EK⊥PA，所以EK⊥平面AGK 所以三角形EGK是直角三角形。 cos[EGK]=GK/GE =(3√2a/8)/(√30a/8) =√15/5