Question

已知函数f(x)=2x^2+bx+c/x^2+1 (b小于0)的值域为[1,3],求实数b,c的值

Answer 1

因为y=f（x)＝（2x^2+bx+c)/(x^2+1)的定义域为R.
所以2x^2+bx+c=yx^2+y
整理得(2-y)x^2+bx+(c-y)=0
当y=2时，x=(2-c)/b.
因为b<0，所以成立.
当y≠2时，
Δ=b^2-4(2-y)(c-y)=-4y^2+(8+4c)y+(b^2-8c)≥0.
由题意，1,3为该方程的两根。
所以，
1+3=-(8+4c)/-4…①
1*3=(b^2-8c)/-4…②
由①②解得:b=-2(正值舍去），c=2.

Answer 2

y=f(x)
则yx^2+y=2x^2+bx+c
(y-2x^2-bx+(y-c)=0
x是实数则方程有解
判别式大于等于0
b^2-4(y-2)(y-c)>=0
4y^2-4(c+2)y+8c-b^2<=0
值域即y的范围
所以不等式解集是1<=y<=3
所以1和3是对应方程4y^2-4(c+2)y+8c-b^2=0的根
则1+2=4(c+2)/4
1*2=(8c-b^2)/4
所以c=1,b=0